الرئيسيةبحـثالتسجيلدخول

شاطر | 
 

 منصف الزاوية للمثلث

اذهب الى الأسفل 
كاتب الموضوعرسالة
وردة
فارس(ة) محترف
فارس(ة) محترف
avatar

عدد الرسائل : 1161
العمر : 33
السٌّمعَة : 0
نقاط : -3
تاريخ التسجيل : 18/06/2008

مُساهمةموضوع: منصف الزاوية للمثلث   2008-09-04, 8:45 pm




العمل :

1 - نرسم المستقيم ج هـ يوازى المنصف د أ ويقابل امتداد ضلع المثلث ب أ فى نقطة هـ

2 - نرسم المستقيم ج ى عودى على ج هـ ويقابل امتداد ضلع المثلث أ ب فى نقطة ى

3 - نمد المنصف أ د ليقابل ج ى فى و

الاثبات :

فى المثلث أ ب د :
(ب د)^2 = (أ ب)^2 + (أ د)^2 - 2 أ ب . أ د . جتاأ/2 ــ (1)

فى المثلث أ د ج :
(د ج)^2 = (أ ج)^2 + (أ د)^2 - 2 أ ج . أ د . جتاأ/2 ــ (2)

فى المثلث أ ب ج :
(ب ج)^2 = (أ ب)^2 + (أ ج)^2 - 2 أ ب . أ ج . جتاأ

حيث :
ب ج = ب د + د ج
جتاأ = 2 جتا^2 (أ/2) - 1

(ب ج)^2 = (ب د)^2 + (د ج)^2 + 2 ب د . د ج

فيكون :
(ب د)^2 + (د ج)^2 + 2 ب د . د ج = (أ ب)^2 + (أ ج)^2 - 4 أ ب . أ ج . جتا^2 (أ/2) + 2 أ ب . أ ج ـــ (3)

من المعادلات (1) ، (2) ، (3)

أ ب . أ ج = ب د . د ج + (أ د)^2 + جتاأ/2 * [ (2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) - أ د (أ ب + أ ج ) ] ـــــــــــ (4)

ومن هنا نبدأ فى الاستفادة من العمل المشار إليه فى بداية الحل ، ولننتبه جيدا :

من الرسم عاليه

أ ج = أ هـ = أ ى

أ و = أ ج * جتاأ/2

أ و = 1/2 * ج هـ

(2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) = 2 * أ ب * أ و = أ ب . ج هـ

أ د (أ ب + أ ج ) = أ د . (أ ب + أ هـ) = أ د . ب هـ

المثلث ب د أ يشابه المثلث ب ج هـ

فيكون : ب أ / ب هـ = أ د / هـ ج

ب أ . هـ ج = أ د . ب هـ

إذن :

(2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) = أ د (أ ب + أ ج )

وتكون المعادلة (4)

أ ب . أ ج = ب د . د ج + (أ د)^2 + جتاأ/2 * [ (2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) - أ د (أ ب + أ ج ) ]

= ب د . د ج + (أ د)^2 + جتاأ/2 * 0

وحيث أن أى زاوية فى المثلث دائما أصغر من 180 درجة

فتكون نصف الزاوية دائما أصغر من 90 درجة

وبالتالى جتا أ/2 لا تساوى 0

إذن :
أ ب . أ ج = ب د . د ج + (أ د)^2

حيث أ د المنصف الداخلى للزاوية أ بالمثلث أ ب ج







نفس العمل السابق

الاثبات بنفس الطريقة السابقة:

فى المثلث أ ب د :
(ب د)^2 = (أ ب)^2 + (أ د)^2 - 2 أ ب . أ د . جتاأ/2 ــ (1)

فى المثلث أ د ج :
(د ج)^2 = (أ ج)^2 + (أ د)^2 - 2 أ ج . أ د . جتا(180 -أ/2) = (أ ج)^2 + (أ د)^2 + 2 أ ج . أ د . جتاأ/2 ــ (2)

فى المثلث أ ب ج :
(ب ج)^2 = (أ ب)^2 + (أ ج)^2 - 2 أ ب . أ ج . جتا(180 - أ)
= (أ ب)^2 + (أ ج)^2 + 2 أ ب . أ ج . جتاأ

حيث :
ب ج = د ج - د ب
جتاأ = 2 جتا^2 (أ/2) - 1

(ب ج)^2 = (ب د)^2 + (د ج)^2 - 2 ب د . د ج

فيكون :
(ب د)^2 + (د ج)^2 - 2 ب د . د ج = (أ ب)^2 + (أ ج)^2 + 4 أ ب . أ ج . جتا^2 (أ/2) - 2 أ ب . أ ج ـــ (3)

من المعادلات (1) ، (2) ، (3)

أ ب . أ ج = ب د . د ج - (أ د)^2 + جتاأ/2 * [ (2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) - أ د (أ ج - أ ب) ] ـــــــــــ (4)


من الرسم عاليه

أ ج = أ هـ = أ ى

أ و = أ ج * جتاأ/2

أ و = 1/2 * ج هـ

(2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) = 2 * أ ب * أ و = أ ب . ج هـ

أ د (أ ج - أ ب) = أ د . (أ هـ - أ ب) = أ د . ب هـ

المثلث ب د أ يشابه المثلث ب ج هـ

فيكون : ب أ / ب هـ = أ د / هـ ج

ب أ . هـ ج = أ د . ب هـ

إذن :

(2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) = أ د (أ ج - أ ب)

وتكون المعادلة (4)

أ ب . أ ج = ب د . د ج - (أ د)^2 + جتاأ/2 * [ (2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) - أ د (أ ج - أ ب) ]

= ب د . د ج + (أ د)^2 + جتاأ/2 * 0

وكما أشرنا فى الاثبات الأول أن : جتا أ/2 لا تساوى 0

إذن :

أ ب . أ ج = ب د . د ج - (أ د)^2

حيث أ د المنصف الخارجى للزاوية أ بالمثلث أ ب ج
الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل
وردة
فارس(ة) محترف
فارس(ة) محترف
avatar

عدد الرسائل : 1161
العمر : 33
السٌّمعَة : 0
نقاط : -3
تاريخ التسجيل : 18/06/2008

مُساهمةموضوع: رد: منصف الزاوية للمثلث   2008-09-04, 8:46 pm

الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل
وردة
فارس(ة) محترف
فارس(ة) محترف
avatar

عدد الرسائل : 1161
العمر : 33
السٌّمعَة : 0
نقاط : -3
تاريخ التسجيل : 18/06/2008

مُساهمةموضوع: رد: منصف الزاوية للمثلث   2008-09-04, 8:47 pm

الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل
 
منصف الزاوية للمثلث
الرجوع الى أعلى الصفحة 
صفحة 1 من اصل 1

صلاحيات هذا المنتدى:لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى
منتديات الفرسان :: اسرة الفرسان التعليمية :: الفرسان للتعليم-
انتقل الى: